《多元函数微分学的几何应用》内容小结、题型与典型题

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1、空间曲面的切平面与法线

设曲面S的方程为F(x,y,z)=0，且函数F(x,y,z)有连续的偏导数，则曲面上点P₀ (x₀,y₀,z₀)处的法向量可以取为

依据平面的点法式方程，曲面S上点P₀处的切平面方程为 

依据直线的点向式方程，法线方程为： 

特别地，当光滑曲面S由二元函数z=f(x,y)描述时，则可改写为三元方程描述形式：

则曲面S在点P₀ (x₀,y₀,z₀)处的法向量可以取为

于是曲面S在点P₀的切平面方程为：

曲面S在点P₀的法线方程为 

2、空间曲线的切线与法平面

(1) 已知空间曲线的参数式方程求切线与法平面

设空间曲线C的参数式方程为

则在点(x(t₀),y(t₀),z(t₀))处曲线的切线的方向向量可以取为

从而可得切线方程为：

法平面方程为：

(2) 已知空间曲线的一般式方程求切线与法平面

设空间曲线C的一般式方程为

的形式给出，P(x₀,y₀,z₀)是曲线C上的一个点，在假定F(x,y,z)，G(x,y,z)对各变量具有一阶连续偏导数以及雅可比行列式

不为零的条件下，则方程组在点P(x₀,y₀,z₀)的某一邻域内确定了一组具有连续导数的隐函数y=y(x)及z=z(x)．从而在对应邻域内曲线C可以由参数方程

描述．曲线的切线方向向量则可以取为 

这样，可以通过对方程组两端分别关于x变量求导数，计算得到两个导数dy/dx与dz/dx在点P的值．并且可以得到一般计算公式，即

从而由解线性方程组的克莱姆法则，只要两个导数的系数构成的行列式不为0，则可以得到

所以，切向量可以取为

【注】在实际计算过程中，一般不使用公式，而是采取直接利用方程组求解更加方便，有效。类似，也可以对y求导，将x,z视作函数；对z求导，将x,y视作函数. 分别取切向量为 

相关题型与典型题参见下面给出的课件列表！

参考课件节选

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